Indice de masse corporelle

L’indice de masse corporelle (\(\text{IMC}\)) d’un individu correspond au rapport entre sa masse \(M\), en kilogrammes, et le carré de sa taille \(T\), exprimée en mètres : `\text{IMC}=M/T^2`.

La figure suivante, extraite d'un carnet de santé, montre les courbes représentant l’\(\text{IMC}\) des garçons en fonction de l'âge, de `0` à `18` ans.

Source : https://solidarites-sante.gouv.fr/IMG/pdf/carnet_de_sante-num-.pdf

Partie A : calculer

Deux frères, Mathieu et Victor, ont respectivement `14` et `16` ans.

• Mathieu mesure `156` cm et pèse `55` kg ;
  
• Victor mesure `165` cm et pèse \(60\) kg.
  

Pour chacun des deux frères, dire s'il est en surpoids, maigre, ou ni en surpoids ni maigre d'après le graphique donné précédemment.

Partie B : observer

On considère dans la suite la courbe noire représentant la fonction IMC (celle indiquée par IOTF17 dans la figure du livret de l'enfant). Elle est reproduite dans le fichier de géométrie dynamique suivant. Le point \(\text{A}\) appartient à la courbe.

1. Choisir trois positions distinctes pour le point \(\text{A}\). Estimer le nombre dérivé de la fonction IMC pour chacune des trois abscisses des points \(\text{A}\) placés.
2. Vérifier ces estimations en affichant, pour chaque position choisie, la tangente en \(\text{A}\) à la courbe ainsi que sa pente. 

 Partie C : conjecturer

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant, la pente de la tangente à la courbe représentative de l'IMC d'un garçon est indiquée pour chacune des positions du point \(\text{A}\).

1. En déplaçant le point \(\text{A}\), observer le signe de la pente de la tangente à la courbe au point \(\text{A}\).
2. Identifier les intervalles sur lesquels la pente est positive et ceux sur lesquels elle est négative.
3. En activant la touche « TRACE » du fichier et, en déplaçant le point \(\text{A}\), les intervalles sur lesquels la pente est positive se colorient en vert, ceux où elle est négative se colorient en rouge. Vérifier la réponse à la question 2.

4. Préciser si la fonction IMC est croissante ou décroissante sur chacun des intervalles identifiés à la question précédente. Quel lien peut-on conjecturer entre le signe de la pente de la tangente sur un intervalle et les variations de l'IMC ?
5. Identifier les années correspondant aux points de la courbe de l'IMC où la pente de la tangente s'annule et change de signe. Que se passe-t-il pour l'IMC des garçons à ce moment de leur croissance ?
6. Résumer les informations trouvées aux questions 4. et 5. dans le tableau suivant.

Partie D : abstraire

La fonction qui à tout abscisse d'un point de la courbe représentative d'une fonction `f` associe, lorsqu'elle existe, la pente de la tangente à la courbe en ce point, s'appelle la dérivée de la fonction `f`. On la note `f'`.

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre :

• dans la partie supérieure, la courbe de l'IMC étudiée dans les parties précédentes ;
• dans la partie inférieure, la courbe représentative de la pente de la tangente à la courbe de la fonction IMC, en fonction de l'abscisse du point \(\text{A}\).
  

Ce fichier nous permet de visualiser la conjecture émise à la partie C, liant le signe de la pente sur un intervalle aux variations de la fonction sur le même intervalle.

Généraliser cette conjecture en considérant une fonction `f` définie sur un intervalle `I` sur lequel on peut calculer, pour chaque valeur de `x` dans `I`, la dérivée `f'(x)`.